11 dạng toán Hình học không gian thường gặp và cách giải

Hình học không gian vẫn luôn được coi là một phần nội dung khó học của môn Toán. Đây cũng là một trong những phần mang tính thách đố và phân loại học sinh trong các đề kiểm tra và đề thi môn Toán ở bậc trung học phổ thông.Tuy nhiên, nếu biết cách học và nắm được các quy tắc khi tư duy hình học không gian, việc học mảng nội dung này sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.

Để giúp các em có thêm hành trang để tự tin học và học tốt Hình học không gian, SPBook đã tổng hợp và chia sẻ với các em 11 dạng toán hình học không gian thường gặp và cách giải.

BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

* Phương pháp:

Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.

• Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.
• Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.

Cách 2: Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng // thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến sẽ đi qua điểm chung và // với 2 đường thẳng này

BÀI TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

* Phương pháp:

- Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P).

- Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm một mp (Q) chứa a.

2. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).

3. Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P).

BÀI TOÁN 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

* Phương pháp:

Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2 mặt phẳng phân biệt.

BÀI TOÁN 4: Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy.

* Phương pháp:

- Cách 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

Tìm A = a ∩ b.

Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P) ∩ (Q) = c.

- Cách 2: Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

BÀI TOÁN 5: Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b.

* Phương pháp:

- Tìm mp (P) cố định chứa a.

- Tìm mp (Q) cố định chứa b.

- Tìm c = (P) ∩ (Q). Ta có M thuộc c.

- Giới hạn.

BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T.

* Phương pháp:

Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của T. Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:

1. Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T.

2. Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.

BÀI TOÁN 7: Chứng minh một đường thẳng a đi qua 1 điểm cố định.

* Phương pháp:

Ta chứng minh: a = (P) ∩ (Q) trong đó (P) là một mặt phẳng cố định và (Q) di động quanh một đường thẳng b cố định. Khi đó a đi qua: I = (P) ∩ b.

BÀI TOÁN 8: Chứng minh 2 đường thẳng a, b song song.

* Phương pháp:

• Cách 1: Ta chứng minh: a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh // trong hình học phẳng như: Ta lét, đường trung bình, ... để chứng minh: a // b.
• Cách 2: Chứng minh: a, b cùng // với một đường thẳng thứ ba c.
• Cách 3: Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với 2 đường thẳng ấy.

BÀI TOÁN 9: Tìm góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b.

* Phương pháp:

• Lấy một điểm O tùy ý.
• Qua O dựng c // a, d // b.
• Góc nhọn tạo bởi c và d là góc giữa 2 đường thẳng a, b.

* Chú ý: Ta nên chọn O thuộc a hoặc b khi đó ta chỉ cần vẽ một đường thẳng // với đường còn lại.

BÀI TOÁN 10: Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P).

* Phương pháp:

- Cách 1: Ta chứng minh: a // với một đường thẳng . Khi không thấy được b ta làm theo các bước:

• Tìm một mp(Q) chứa a.
• Tìm b = (P) ∩ (Q).
• Chứng minh: b // a.

- Cách 2: Chứng minh: 

BÀI TOÁN 11: Dựng thiết diện song song với một đương thẳng a cho trước.

* Phương pháp:

Ta dựa vào tính chất: Mặt phẳng song song với đường thẳng a, nếu cắt mặt phẳng nào chứa a thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với a.

BÀI TOÁN 12: Chứng minh 2 mặt phẳng song song.

* Phương pháp:

Chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.

BÀI TOÁN 13: Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mp cho trước.

* Phương pháp:

Dựa vào Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mp thứ ba thì 2 giao tuyến // nhau.